Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей.

Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей. Числові характеристики

Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей настільки важкий при першому ознайомленні, що краще за все його пояснювати на конкретному прикладі.
Нехай задано деяку множину однотипних елементів, число яких дорівнює N; з них K елементів мають, наприклад, ознаку А (колір, стандартність, наповнення), а решта N-K елементів — ознаку В. З цієї множини навмання беруть nелементів. Випадкова величина X – число елементів з ознакою А, що трапляється серед n навмання взятих елементів. Тоді X набуває значень k=0,1,2,...,min(n,K) , а ймовірність їх появи визначається за гіпергеометричним законом

У табличній формі запису цей закон розподілу має виглядНагадаємо, що сполучення знаходять за формулоюа факторіал функцію за правилом– 
При n=k і k=0 сполучення рівне одиниці.Умова нормування для гіпергеометричного розподілу має виглядЗалежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2, 3, ..., m.

Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними нижче формулами:

1. Математичне сподівання

2. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення

3. Формула для асиметріїта ексцесуформули мають досить громіздкий вигляд, тому їх, як правило, обчислюють в екселі, чи математичних програмах (Maple, MathCad, Mathematica).
Розглянемо декілька прикладів на застосування наведених вище формул.

Приклад 1. В ящику міститься 10 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта є бракованими. Навмання із ящика беруть m деталей. Побудувати закони розподілу цілочислової випадкової величини Х — появу числа стандартних деталей серед m навмання взятих і обчислити математичне сподівання М(Х), дисперсію D (X), та середнє математичне відхилення S(Х), якщо:
I. m = 3;
II) m = 4;
III) m = 5;
IV) m = 7.

Розв'язання. Використовуючи наведені вгорі формули побудуємо гіпергеометричні закони розподілу:
I. Маємо наступні початкові умови для випадку вибору трьох деталей
n = 3; N=10; K= 7; N-K= 3; k = 0, 1, 2, 3. 
У табличній формі гіпергеометричний закон для цих даних має виглядабо після обчислення сполучень




у вигляді таблиці ймовірностейУмова нормування

виконується, отже все вірно пораховано. Не лінуйтеся первіряти її, вона саме швидше вкаже Вам на присутність помилки при неправильній правій частині. Обчислюємо числові характеристики:
математичне сподівання

Дисперсію


Середнє квадратичне відхилення

ІІ. Вибирають чотири деталі
n=4; K=7; N-K=3; k=1, 2, 3, 4. 
У табличній формі закон розподілу запишеться формуламиабо після обчислень у вигляді таблиціПеревіряємо умову нормування для знайдених значень.

Вона виконується, отже можемо обчислювати числові характеристики за наведеними вище формулами:
математичне сподівання прийме значення

дисперсію і середнє квадратичне відхилення визначаємо за схемою попередньої задачі

ІІІ. Вибирають п'ять деталей
т=5; K=7; N-K=3; k=2, 3, 4, 5.
У табличній формі закон подається так:
або після обчислень у вигляді таблиці значеньУмова нормування

виконується. Обчислюємо математичне сподівання

Складову дисперсії

та саму дисперсію
.
середнє квадратичне відхилення за відомою дисперсією

IV.) Вибирають сім деталей
т=7; K=7; N-K=3; k=4, 5, 6, 7.

У табличній формі даний розподіл приймає значенняабо після обчислень

Умова нормування

виконується.

Числові характеристики визначаємо на основі формул:
математичне сподівання

математичне сподівання квадрату величини

дисперсію

середнє квадратичне відхилення

На цьому розв'язування задачі завершено. Будьте уважними при розв'язуванні прикладів на гіпергеометричний розподіл, оскільки досить часто потрібно знаходити сполучення  і при спрощенні факторіалів можна допустити помилку.