Функціональні рівняння для школярів: Таблиця похідних функцій. Класифікація функцій

Таблиця похідних функцій

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференційному численні. У цій статті наведено загальні правила диференціювання та список похідних основних функцій.

У нижче поданих формулах

{\ Displaystyle х}

— змінна,

{\ Displaystyle е}

— функція цієї змінної.

{\ Displaystyle і}

{\ Displaystyle v}

— довільні функції, що диференціюються, а

{\ Displaystyle з}

— константа. Цих правил і формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

Загальні правила

Константа

{\ Displaystyle \ зліва ({с \ CDOT е} \ праворуч) ^ {\} просте число = C \ CDOT F ^ {\}} просте число

, де

{\ Displaystyle з = {\ текст {сопз}} \,}

Сума і різниця похідних

{\ Displaystyle \ зліва ({і + v} \ праворуч) '= і' + v '}

{\ Displaystyle \ зліва ({УФ} \ праворуч) '= u'-v'}

Похідна від добутку і частки

{\ Displaystyle \ зліва ({і \ CDOT v} \ праворуч) '= {u'v + УФ'}}

{\ Displaystyle \ зліва ({і \ над v} \ праворуч) '= {{u'v-уф'} \ над {V ^ {2}}} \ ,, \ qquad v \ NEQ 0}

Похідна від складної функції

{\ Displaystyle {\ Big (} {і {\ велика (} v (х) {\ великий)}} {\ Big)} '= {и- {v}' (v) \ CDOT v_ {х} '(х )}}

Похідна від оберненої функції

{\ Displaystyle (е ^ {- 1}) '= {\ гідророзриву {1} ​​{е' \ CIRC е ^ {- 1}}}}

Список

Похідні від простих функцій

{\ Displaystyle \ зліва (з \ праворуч) '= 0}

{\ Displaystyle \ зліва (х \ праворуч) '= 1}

{\ Displaystyle \ зліва (сх \ праворуч) '= з}

{\ Displaystyle | х | '= {х \ над | х |} = \ OperatorName {SGN} х, \ qquad х \ NEQ 0}

{\ Displaystyle \ зліва (х ^ {з} \ праворуч) '= сх ^ {з-1}}

, де

{\ Displaystyle \ зліва (х ^ {з} \ праворуч)}

та

{\ Displaystyle \ зліва (х ^ {з-1} \ праворуч)}

— визначені

Зокрема:

{\ Displaystyle \ зліва ({1 \ над х ^ {з}} \ праворуч) '= {d \ над дх} \ зліва (х ^ {- з} \ праворуч) = - {с \ над х ^ {з + 1}}}

{\ Displaystyle \ зліва ({1 \ по х} \ праворуч) '= {d \ над дх} \ зліва (х ^ {- 1} \ праворуч) = - {1 \ над х ^ {2}}}

{\ Displaystyle \ зліва ({\ SQRT {х}} \ праворуч) '= {d \ над дх} х ^ {1 \ над 2} = {1 \ над 2} х ^ {- {1 \ більш 2}} = {1 \ над 2 {\ SQRT {х}}}, \ qquad х> 0}

Похідні від експоненціальних і логарифмічних функцій

${\ Displaystyle \ зліва (е ^ {х} \ праворуч) '= е ^ {х}}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ х пров \ праворуч) '= {1 \ над х}}$
${\ Displaystyle \ зліва (а ^ {х} \ праворуч) '= {а ^ {х} \ ЛПЛ}, \ чотириядерних> 0}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ _ увійти {а} х \ праворуч) '= {1 \ над х \ пер а}, \ чотириядерних а> 0, а \ NEQ 1}$
${\ Displaystyle \ лівий (е ^ {ах} \ праворуч) '= ае ^ {ах}}$

Похідні від тригонометричних функцій

Прямих	Оберненіх
${\ Displaystyle \ зліва (\ гріх х \ праворуч) '= \ ство х}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {агсзш} х \ праворуч) '= {1 \ над {\ SQRT {1-х ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ ство х \ праворуч) '= - \ х} гріх$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {агссоз} х \ праворуч) '= {- 1 \ над {\ SQRT {1-х ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {Т.Г.} х \ праворуч) '= {1 \ над \ ство ^ {2} х}}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {arctg} х \ праворуч) '= {1 \ над 1 + х ^ {2}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ сек х \ праворуч) '= {\ грішити х \ над \ ство ^ {2} х} = \ OperatorName {Т.Г.} х \ сек х}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {кут.сек} х \ праворуч) '= {1 \ над \| х \| {\ SQRT {х ^ {2} -1}}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {CTG} х \ праворуч) '= {- 1 \ над \ грішити ^ {2} х}}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {arcctg} х \ праворуч) '= {- 1 \ над 1 + х ^ {2}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {COSEC} х \ праворуч) '= - {\ ство х \ над \ грішити ^ {2} х} = - \ OperatorName {CTG} х \ OperatorName {COSEC} х}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {arccosec} х \ праворуч) '= {- 1 \ над \| х \| {\ SQRT {х ^ {2} -1}}}}$

Похідні від гіперболічних функцій

Прямих	Оберненіх
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {ш} х \ праворуч) '= \ OperatorName {ч} х}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {арш} х \ праворуч) '= {1 \ над {\ SQRT {х ^ {2} +1}}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {ч} х \ праворуч) '= \ OperatorName {ш} х}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {арка} х \ праворуч) '= {- 1 \ над {\ SQRT {х ^ {2} -1}}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {й} х \ праворуч) '= \ OperatorName {рах} ^ {2}} х$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {} Arth х \ праворуч) '= {1 \ над 1-х ^ {2}}}$
${\ Displaystyle \ вліво (\ назва оператора {було} х \ праворуч) = - \ назва оператора {й} х \, \ назва оператора {було} х}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {arsech} х \ праворуч) '= {1 \ над х {\ SQRT {1-х ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {CTH} х \ праворуч) '= - \ OperatorName {CSCH} ^ {2}} х$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {arcth} х \ праворуч) '= {1 \ над 1-х ^ {2}}}$
${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {CSCH} х \ праворуч) '= - \ OperatorName {CTH} х \, \ OperatorName {CSCH} х}$	${\ Displaystyle \ зліва (\ OperatorName {arcsch} х \ праворуч) '= {- 1 \ над \| х \| {\ SQRT {1 + х ^ {2}}}}}$