Кривина плоскої кривої. Радіус кривини

Плоскою кривою називають лінію, всі точи якої лежать в одній площині. Кривина плоскої кривої визначає ступінь її відхилення від прямої і в декартовій системі координат y=f(x) визначається залежністю

Кривина кривої визначається в кожній її точці. Якщо крива задана параметрично  то кривина визначається залежністю

У полярних координатах кривина лінії  обчислюється за формулою

Радіусом кривини лінії є величина, обернена до кривини

Радіус кривини рівний радіусу дотичного кола в заданій точці. Центр цього кола називається центром кривини, а його координати M(x0; y0) знаходять за формулами

Коло, центр якого співпадає з центром кривини лінії в даній точці M(x0; y0) і з радіусом, що рівний радіусу кривини, називається колом кривини лінії в цій точці.
Еволюта лінії – це геометричне місце центрів її кривини.

Розглянемо приклади із збірника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. "Вища математика" для засвоєння матеріалу на практиці.

Приклад 1. Знайти кривини ліній.

(5.983)y=x4-8x3+20x-12 в точці (1;1).

Розв'язок. Знайдемо першу та другу похідну функції


Обчислюємо значення похідних в заданій точці


Результати підставляємо в формулу кривини кривої

На цьому приклад розв'язано і як можна бачити обчислення не складні.

(5.986)y=ln(1+x2) у початку координат.

Розв'язок. Обчислюємо похідну логарифма


Знаходимо значення похідних в початку координат

Знайдені величини підставляємо в рівняння кривини кривої

Кривина рівна 2.

(5.990)  в точці t=Pi/3.

Розв'язок. Знаходимо похідні параметрично заданої функції




Знаходимо значення похідних в заданій точці




Отримані значення підставляємо в формулу


Кривина рівна 1/4.

(5.993)  при .

Розв'язок. Знаходимо першу та другу похідну функції, заданої в полярній системі координат


При заданому куті функція та похідні приймуть наступні значення:



Кривину в полярній системі координат визначаємо за формулою

Знайдені значення функції та похідних підставляємо в співвідношення та обчислюємо


Практична сторона обчислення кривини плоскої кривої полягає у відшуканні значень першої та другої похідної в заданій точці. Якщо Вам без труднощів вдається диференціювати функції, то обчислювати кривину та радіус кривини Ви навчитеся без великих зусиль.