Знайти похідні за формулами диференціювання

Для практичного ознайомлення з таблицею основних формул диференціювання розглянемо популярні варіанти завдань на похідні.

Приклад 1. Обчислити похідні функцій

1) 

Розв'язок. За формулами диференціювання (1), (3), (9) знаходимо похідну полінома


Похідна від сталої рівна нулю. Це правило найлегше, тому запам'ятайте його в числі перших.

2) 

Розв'язок. Вводимо дробові та від'ємні степені, та перетворюємо задану функцію до вигляду

Використовуючи формули (3), (4), (9), знаходимо похідні


Вкінці записуємо результат через корені.

3) 

Розв'язок. Похідну дробової функції знаходимо за правилом похыдної частки

Обчислення не складні - в результататі диференціювання отримаємо різницю простих дробів 1 та 2 типу.

4) 

Розв'язок. Похідну кореневої залежності  шукаємо за правилом складної функції


При роботі з дробовими показниками будьте уважні!

5) 

Розв'язок. Похідну від добутку кореня на поліном знаходимо за правилом добутку функцій та формулою похідної від складної функції. В результаті отримаємо наступні перетворення



Записів багатенько, проте на практиці буде не легше, тож вивчайте правили диференціювання.

6) 

Розв'язок. За формулою похідної від складної функції отримаємо


Останній вираз можете спростити, підсумувавши показники змінної.

7)

Розв'язок. Багато студентів, які ще добре не знають правил, спочатку підносять до квадрату вираз в дужках, а потім проводять диференціювання. Це неправильно, довго і важко. Скориставшись правилом диференціювання складної функції, отримаємо похідну від квадрату домножену на похідну кубічної функції



Якщо Ви будете підносити до квадрату, а потім диференціювати то отримаєте многочлен, який ще треба буде зводити до компактного вигляду. Результат буде правильний, але навіщо йти складним шляхом, якщо за нас вже давно придумали правила диференціювання, які спрощують обчислення. Вивчайте їх та користуйтеся на практиці.