Диференціал довжини дуги

Диференціал дуги плоскої кривої характеризує приріст її довжини за короткий проміжок зміни і в декартовій системі координат визначається залежністю

Якщо крива задана у вигляді функціональної залежності y=f(x) то диференціал дуги визначаємо за формулою

При параметричному задані функції отримаємо наступні залежності

Якщо лінія задана в полярній системі координат, то диференціал дуги обчислюємо за формулою

З формул бачимо, що при обчисленнях потрібно знаходити похідні першого порядку.

Розглянемо приклади із збірника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. "Вища математика".

Приклад 1. Знайти диференціал дуги ліній:

(5.966) 

Розв'язок. Знаходимо диференціал довжини дуги за формулою

Для цього обчислюємо похідну функції

та підставляємо знайдене значення у формулу


Ось така вийде залежність довжини дуги від змінної.

(5.972) 

Розв'язок. Проводимо диференціювання логарифма, як складеної функції. Тут ще маємо і дробову функцію і експоненту, так що слідкуйте за обчисленнями


Знайдену похідну підставляємо в формулу для обчислення диференціалу дуги


Після групування та зведення до повних квадратів корені скоротяться.

(5.973) 

Розв'язок. Маємо параметрично задану функцію, для знаходження її диференціалу дуги обчислюємо похідні від аргументу x та змінної y за параметром t


Отримані значення підставляємо в формулу диференціалу дуги



Скориставшись формулою дя косинусів, записали залежність в компактному вигляді.

(5.974) 

Розв'язок. Астроїда задана параметричним рівнянням. Знаходимо похідні


Обчислюємо диференціал дуги, попередньо винісши за знак кореня спільні множники

(5.975) 

Розв'язок. Обчислюємо похідні параметрично заданої функції


та підставляємо у формулу для визначення диференціалу довжини дуги

(5.979) 

Розв'язок. Дана функція задана в полярній системі координат, тому її диференціал дуги визначаємо за останньою з наедених вгорі формул

Знаходимо похідну по радіусу

та підставляємо в корінь квадратний

Після спрощень отримаємо диференціал довжини дуги.

(5.980) (кардіоїда)

Розв'язок. Обчислюємо похідну функції в полярних координатах

та знаходимо приріст довжини дуги від кута

Розв'язані приклади знаходження диференціалу довжини дуги ривих, які задані в декартовій та полярній системах координат, а також параметрично показали, що основним в обчисленні є вміння диференціювати функції. Все решта зводиться до спрощень та відшукання коренів. Користуйтеся формулами для обчислення диференціалу довжини дуги, вивчайте формули похідних, правила диференціювання і розв'язування подібних прикладів не будеважким для Вас.