Довжина дуги кривої в полярних координатах

Якщо крива задана рівнянням  в полярній системі координат, де функція є гладкою неперервною на проміжку , тоді довжина дуги кривої дорівнює визначеному інтегралу, розрахованому за формулою

В формулі довжини дуги в полярних координатах під інтегралом маємо кореневу функцію від суми квадратів радіуса та його похідної. Обчислення в певній мірі перегууються з попередніми публікаціями, з яких Ви вже знаєте як обчисити довжину дуг, які задано в декартовій системі координат та параметрично.
Приклади підібрано із програми практикуму для стутентів мех-мату Львівського національного університету імені Івана Франка.
Інші ВУЗи України мають здебыльшого легшу програму навчання, завдання схожі, а в ряді випадків співпадають.
Наведені пояснення навчать Вас обчислювати типові завдання з наступних тем:

Площа фігури а) Площа фігури, що обмежена кривими в прямокутних координатах;                                           б) Площа фігури, що обмежена кривими заданими параметрично; в) Площа фігури, що обмежена кривими в полярних координатах.

Довжина дуги а) Довжина дуги кривої в прямокутних координатах;                                             б) Довжина дуги кривої заданої параметрично;                                                      в) Довжина дуги кривої в полярних координатах.

Об'єм тіла а) Об'єм тіла за відомими поперечними перерізами;                                   б) Об'єм тіла утворений обертанням кривої навколо осей Ox, Oy .

Площу поверхні обертання

Перший номер в прикладах відповідає номеру основного завдання зі збірника М. В. Заболоцький і ін.. "Практикум з математичного аналізу" (поруч стоїть номер зі збірника Б. П. Демидовича ).
Для вивчення основних моментів схема інтегрування та формули обчислення дуги кривої, заданої в параметричній формі будуть повторюватися з прикладу в приклад. Частину завдань обов'язово проілюструємо графіками кривих.

Як знайти довжину дуги кривої, заданої в полярних координатах?

Приклад 2.132 (2446)Знайти довжину дуги кривої  (спіраль Архімеда), .
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції: 
Межі інтегрування відомі за умовою: [0;2Pi].
Запишемо підінтегральну функцію:  Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
 од.

Приклад 2.133 (2447) Знайти довжину дуги кривої  (), .
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції: 
Запишемо межі інтегрування:  при , при , тому  (отримаємо невластивий інтеграл І роду, який є збіжний).
Запишемо підінтегральну функцію:

Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
.

Приклад 2.134 (2448) Знайти довжину дуги кривої  (кардіоїда) (Дивись 2.107).
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції: 
Межі інтегрування: [0;Pi].
(знайдемо довжину половини кривої і помножимо на 2).
Запишемо підінтегральну функцію:

Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
 од.

Приклад 2.135 (2450) Знайти довжину дуги кривої .
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції:

Межі інтегрування: , оскільки задана крива замкнена в цих межах.
Запишемо підінтегральну функцію:

Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
 кв. од.

Приклад 2.136 (2449) Знайти довжину дуги кривої  (парабола), (Дивись рис. 2.109)
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції:

Межі інтегрування відомі за умовою: для параболи .
Запишемо підінтегральну функцію:

Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:

* Метод Остроградського:
.
Візьмемо похідну з кожної частини рівності (з кожного доданку), де 

прирівняємо коефіцієнти при кожній змінній з обох частин рівності:

Отримуємо
 (див. вище).

Приклад 2.137 (2452.1) Знайти довжину дуги кривої ,
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції:

Межі інтегрування відомі за умовою: rє[0;5].
Запишемо підінтегральну функцію: 
Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
 од.

Приклад 2.138 (2452) Знайти довжину дуги кривої ,
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції:

Межі інтегрування відомі за умовою: [1;3].
Запишемо підінтегральну функцію:
.
Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
 од.

Приклад 2451 Знайти довжину дуги кривої ,
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції:

Межі інтегрування відомі за умовою: [0;2Pi].
Запишемо підінтегральну функцію:
.
Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
 од.

Приклад 2452.2 Знайти довжину дуги кривої , .
Обчислення: Знайдемо похідну по змінній  заданої функції:

Межі інтегрування відомі за умовою: [0;R]. Запишемо підінтегральну функцію:

Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:
.

Приклад 2452.3 Знайти довжину дуги кривої , , .
Обчислення: Знайдемо похідну  і диференціал  по змінній t заданих функцій:

Межі інтегрування відомі за умовою: t[0;T].
Запишемо підінтегральну функцію:

Обчислимо довжину дуги кривої на заданому відрізку: