неділя, 5 лютого 2017 р.

Функціональні рівняння для мат. олімпіад

 Використана література:

У світі математики. Випуск 9. „Радянська школа” 1983 р. 
У світі математики. Випуск 10. „Радянська школа” 1983 р
У світі математики. Випуск 14. „Радянська школа” 1983 р Стр. 56-69.
Квант. №1 1975 р. Науково-популярний журнал. „Наука”
Квант. №7 1978 р. Науково-популярний журнал. „Наука”
В.А. Ясінський. Задачі математичних олімпіад та методи Їх розв’язування. Вінниця 2000 рік


Фу́нкція (відображення, трансформація, оператор) в математиці — це правило, яке кожному елементу з першої множини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.

Функція f відображає область визначення X в цільову множину Y; менший овал всередині Y — це область значень функції 
Відображення f, яке зіставляє кожному елементу множини A єдиний елемент множини B позначається як f:A→B (тобто f відображує A в B).


Множина всіх функцій f : X → Y позначається як YX. При цьому потужність множини |YX| = |Y||X|.

Області значень та визначення функції

Докладніше: Область визначення та Область значень
X, множина вхідних значень, також називається областю визначення f, а Y, множина усіх можливих результатів, інколи називається областю значень, але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів Y, для яких існують відповідні елементи з X. Тому в загальному випадку область значень є лише підмножиною Y.
Тотожною функцією (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої збігаються.

Ін'єктивні, сюр'єктивні та бієктивні функції

Існують спеціальні назви для деяких важливих різновидів функцій:
  • Ін'єктивна функція — функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів x, y з Y виконується: f(x) = f(y) тоді й тільки тоді, якщо x = y.
  • Сюр'єктивна функція — функція f:X→Y, область значень якої збігається з множиною Y, тобто, для кожного y з Y існує x з X такий, що f(x) = y.
  • Бієктивна функція — функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами множин X та Y.

Образ та прообраз

Образом елемента x∈X для відображення (функції) f є результат відображення (функції) f(x).
Образ підмножини A⊂X для f є така підмножина Y, яка відповідає умові:
е ( ) = { F ( х ) | х  ∈  }
Слід зазначити, що область значень f збігається з образом області визначення f(X).
Прообраз відображення (або обернений образ) множини B ⊂ Y для f є підмножиною множини X, визначеною як
F  -1 ( B ) = { х ∈ X | е ( х ) ∈ B }

Графік функції

Графік функції f є множина всіх впорядкованих пар (x, f(x)), для всіх x з області визначення X.

Графік кубічної функції. Ця функціє є сюр'єктивною, але не ін'єктивною







Композиція функцій

З функцій f: X → Y та g: Y → Z можна побудувати композицію функцій таким чином: спершу застосувавши f до аргумента x з X, а потім застосувавши g до результата. Така композиція функцій позначається g o f: X → Z, тобто (g o f)(x) = g(f(x)) для всіх x з X.

Тотожна функція, вкладення, продовження та звуження

Відображення (функція) E: X → X, таке, що E(x) = x для будь-якого x з X, має назву тотожного відображення, про яке говорять, що воно відображує X в себе.
Відображення I: X → Y, яке відображує елемент x з X в такий же елемент, але в Y, називається вкладенням
Відображення g': X → Y називається звуженням (обмеженням) відображення g: X' → Y' , якщо X та Y є підмножинами X' та Y' відповідно. Відображення g, в свою чергу, називається продовженням відображення g'.

Обернена функція


Деякі функції мають відповідні обернені функції. Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції. Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: Y→Y — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого до g, а g — правого оберненого до f. Якщо справедливо і f o g = EY і g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (функції) до f і позначається як f−1.
  Розв’язувати  функціональні  рівняння можна різними способами. 
Але слід запам’ятати такий факт:
Функція f: RR  називається алгебраїчною на області визначення, якщо для деякого натурального n і деяких многочленів
 Р0(х), Р1(х), Р2(х), Р3(х),......, Рn(х) виконується рівність

Р0(х) + Р1(х) f(x) + Р2(х) f2(x)+ Р3(х) f3(x)+......+Рn(х) fn(x) =0.

В основу класифікації елементарних функцій покладено принцип дихотомії.
Дихотомія – це особливий вид ділення, коли дане поняття ділять на два суперечливі.
     Наприклад:

                      Елементарні функції:

А) Трансцендентні функції;  
Б) Алгебраїчні функції:
                                 а) Ірраціональні функції;
                                  б) Раціональні      функції:
                                            1.Цілі функції;   
                                            2. Дробові функції.

Трансцендентні функції – це клас показникових, тригонометричних, логарифмічних, обернених тригонометричних та інших функцій, які не являються алгебраїчними.

Функціональне рівняння - це рівняння, в якому невідомими є функції (одна або кілька). наприклад,
\ Begin {array} {l} <br /> f (x) + xf (x + 1) = 1, \\ [2mm] <br /> \ displaystyle f (x) + g (1-x) = f \ left (g \ left ({2 \ over x + 1} \ right) \ right). <br /> \ end {array}
Вирішити функціональне рівняння - значить, знайти невідому функцію, при підстановці якої в вихідне функціональне рівняння воно звертається в тотожність (якщо невідомих функцій кілька, то необхідно знайти їх все).
Співвідношення, які визначають функціональні рівняння, є тотожністю щодо деяких змінних, а рівняннями їх називають тому, що невідомі функції - шукані.
Багато функціональні рівняння містять кілька змінних. Всі ці змінні, якщо на них не накладено якісь обмеження, є незалежними.
Завжди чітко має бути обумовлено, на якому безлічі функціональне рівняння задається, тобто яка область визначення кожної невідомої функції. Загальне рішення функціонального рівняння може залежати від цього безлічі.
Крім області визначення функцій, важливо знати, в якому класі функцій шукається рішення. Кількість і поведінку рішень дуже строго залежить від цього класу.
Взагалі для функціональних рівнянь, які не зводяться до диференціальних або інтегральних, відомо дуже мало загальних методів рішення. Розглянемо основні прийоми, що допомагають знайти рішення таких рівнянь.
Iдея неперервності функції
Визначення. Функція f (x)називається неперервною в точці x_0, якщо виконуються наступні дві умови:
1) точка x_0належить області визначення функції f (X_0 \ in D_f);
2) \ Displaystyle \ lim_ {x \ to x_0} f (x) = f (x_0) , зрозуміло, в припущенні, що ця межа існує.
Якщо хоча б одна з цих умов порушується, функція f (x)не є безперервною в точці x_0, вона буде розривної в цій точці.
Визначення. Функція f (x)називається неперервною на відрізку [A, b], якщо вона неперервна в усіх точках цього відрізка.
Справедлива наступна теорема:
Теорема Больцано - Коші. Якщо функція f (x)неперервна на відрізку [A, b]і на кінцях цього відрізка приймає нерівні значення f (a) = Aі f (b) = B, то вона приймає всі проміжні між Aі Bзначення на відрізку [A, b].


Приклад 1. Функція fнеперервна на всій речової прямої і задовольняє рівності f (f (x)) = xдля всіх x. Довести, що рівняння f (x) = xмає хоча б одне рішення.
Рішення. Розглянемо функцію g (x) = f (x) -x. Припустимо, що f (x) \ ne xдля всіх x. Тоді в силу безперервності gабо g (x)> 0для всіх x, або g (x) <0для всіх x. (Якби існували такі aі b, що g (a) g (b) <0, то по теоремі Больцано - Коші, всередині відрізка [A, b]була б точка, в якій gзверталася б до нуль, що суперечить припущенню.
Нехай для визначеності g (x) <0, тобто f (x) <xдля всіх x. Позначимо y = f (x) <x. Тоді, так як f (f (x)) = x, то f (y) = x> y, що суперечить тому, що f (x) <x. Значить, при деякому xмаємо f (x) = x.


Приклад 2. Функція fзадана на всій дійсній осі, причому виконується рівність
f (x + 1) f (x) + f (x + 1) + 1 = 0.
Довести, що fне може бути безперервною.
Рішення. Функція fне може приймати значення -1. Дійсно, при f (x) = - 1маємо 1 = 0. Значить, для всіх x f (x)> - 1або f (x) <- 1. Висловимо з нашого рівності f (x + 1):
\ Displaystyle f (x + 1) = - {1 \ over f (x) +1}.
Значить, нерівність f (x) <- 1неможливо, інакше f (x + 1)> 0.
Якщо ж f (x)> - 1, то повинна виконуватись нерівність \ Displaystyle - {1 \ over f (x) +1}> - 1, звідки f (x)> 0і
\ Displaystyle f (x + 2) = - {1 \ over f (x + 1) +1} = - {1 \ over - {1 \ over f (x) +1} +1} = - {f (x ) +1 \ over f (x)} = - \ left (1 + {1 \ over f (x)} \ right).
отже, отримуємо, що f (x + 2) <- 1. Протиріччя.


Приклад 3. Знайти всі безперервні функції f (x), що задовольняють співвідношенню f (2x) = f (x)для будь-якого x.
Рішення. В дане рівняння підставимо замість x x / 2(це можна зробити, так як функція визначена для всіх x), і ще кілька разів виконаємо те ж саме, отримаємо
\ Displaystyle f (x) = f \ left ({x \ over 2} \ right) = f \ left ({x \ over 4} \ right) = \ ldots = f \ left ({x \ over 2 ^ n} \ right) = \ ldots
За безперервності функції fв нулі маємо
\ Displaystyle f (x) = \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = \ lim_ {n \ to \ infty} f \ left ({x \ over 2 ^ n} \ right) = f \ left ( \ lim_ {n \ to \ infty} {x \ over 2 ^ n} \ right) = f (0).
Отримали, що f (x) = f (0) = c, тобто функція f- постійна.



Рівняння Коші
1. Рівняння
f (x + y) = f (x) + f (y)
в класі неперервних функцій має рішення f (x) = ax.
Таке ж рішення воно має і в класі монотонних функцій.
2. Рівняння
f (x + y) = f (x) f (y)
в класі неперервних функцій має рішення f (x) = a ^ x(якщо не брати до уваги f (x) \ equiv0).
3. Рівняння
f (xy) = f (x) + f (y), \ qquad x, y> 0
в класі неперервних функцій має рішення f (x) = \ log_ax(якщо не брати до уваги f (x) \ equiv0).
4. Рівняння
f (xy) = f (x) f (y), \ qquad x, y> 0
в класі неперервних функцій має рішення f (x) = x ^ a(якщо не брати до уваги f (x) \ equiv0).


Метод зведення функціонального рівняння до відомого 
за допомогою заміни змінної та функції

Приклад 4. Знайти всі безперервні функції, що задовольняють рівняння
f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy.
Рішення. В якості допоміжної функції візьмемо функцію
g (x) = f (x) -x ^ 2.
Підставляючи в вихідне рівняння f (x) = g (x) + x ^ 2, отримуємо
\ Begin {array} {l} <br /> g (x + y) + (x + y) ^ 2 = g (x) + x ^ 2 + g (y) + y ^ 2 + 2xy, \\ < br /> g (x + y) = g (x) + g (y), <br /> \ end {array}
тобто функція g (x)задовольняє першому рівнянню Коші, звідки f (x) = g (x) + x ^ 2 = ax + x ^ 2.

Приклад 5. Знайти всі безперервні функції f: (0, + \ infty) \ to \ mathbb {R}, що задовольняють рівняння
f (xy) = xf (y) + yf (x).
Рішення. Поділимо рівняння на xy, одержимо
\ Displaystyle {f (xy) \ over xy} = {f (y) \ over y} + {f (x) \ over x}.
Введемо допоміжну функцію \ Displaystyle g (x) = {f (x) \ over x}, тоді отримаємо рівняння
g (xy) = g (x) + g (y),
тобто функція g (x)задовольняє третього рівняння Коші, звідки f (x) = x \ log_ax.

Метод підстановок

Приклад 6. Знайти всі рішення функціонального рівняння
f (xy) = y ^ kf (x) \ qquad (k \ in \ mathbb {N}).
Рішення. Покладемо x = 0, маємо f (0) = y ^ kf (0). Оскільки yдовільно, то f (0) = 0.
Нехай тепер x \ ne0. Підставивши в рівняння y = 1 / x, отримаємо
\ Displaystyle f (1) = \ left ({1 \ over x} \ right) ^ kf (x),
звідки f (x) = ax ^ k, де a = f (1).
Неважко переконатися, що ця функція дійсно задовольняє вихідному функціонального рівняння.

Приклад 7. Нехай a \ ne \ pm1- деякий дійсне число. Знайти функцію f (x), певну при всіх x \ ne1і задовольняє рівняння
\ Displaystyle f \ left ({x \ over x-1} \ right) = af (x) + \ varphi (x),
де \ Varphi (x)- задана функція, певна при всіх x \ ne1.
Рішення. При заміні \ Displaystyle x \ to {x \ over x-1}вираз \ Displaystyle {x \ over x-1}переходить в x. Отримуємо систему рівнянь
\ Left \ {\ begin {array} {l} <br /> \ displaystyle <br /> f \ left ({x \ over x-1} \ right) = af (x) + \ varphi (x), \ \ [3mm] <br /> \ displaystyle <br /> f (x) = af \ left ({x \ over x-1} \ right) + \ varphi \ left ({x \ over x-1} \ right ), <br /> \ end {array} \ right.
рішенням якої при a ^ 2 \ ne1є функція
\ Displaystyle f (x) = {a \ varphi (x) + \ varphi \ left ({x \ over x-1} \ right) \ over 1-a ^ 2}.


Граничний перехід
Приклад 8. Функція f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}неперервна в точці 0і \ Forall x \ in \ mathbb {R}виконується рівність
2f (2x) = f (x) + x.
Знайти всі такі f.
Рішення. Нехай функція fзадовольняє умові завдання. тоді
\ Begin {array} {l} <br /> \ displaystyle <br /> f (x) = {1 \ over 2} f \ left ({x \ over 2} \ right) + {x \ over 4} = {1 \ over 2} \ left ({1 \ over 2} \ left (f \ left ({x \ over 4} \ right) + {x \ over 8} \ right) \ right) + {x \ over 4 } = \\ [3mm] <br /> \ displaystyle <br /> = {1 \ over 4} f \ left ({x \ over 4} \ right) + {x \ over 16} + {x \ over 4 } = \ ldots = {1 \ over 2 ^ n} f \ left ({1 \ over 2 ^ n} \ right) + {x \ over 2 ^ {2n}} + {x \ over 2 ^ {2n-2 }} + \ dots + {x \ over 4} = \\ [3mm] <br /> \ displaystyle <br /> = \ lim_ {n \ to \ infty} {1 \ over 2 ^ n} f \ left ({ 1 \ over 2 ^ n} \ right) + \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ n {x \ over 4 ^ k} = {x \ over 3}. <br /> \ end {array}
Перевірка показує, що f (x) = x / 3дійсно є рішенням.

Приклад 9. Знайти функцію f (x), обмежену на будь-якому кінцевому інтервалі і задовольняє рівняння
\ Displaystyle f (x) - {1 \ over 2} f \ left ({x \ over 2} \ right) = xx ^ 2.
Рішення. x = 0 \ Rightarrow f (x) = 0.
\ Begin {array} {l} <br /> \ displaystyle <br /> {1 \ over 2} f \ left ({x \ over 2} \ right) - {1 \ over 4} f \ left ({x \ over 4} \ right) = {x \ over 4} - {x ^ 2 \ over 8}, \\ [3mm] <br /> \ displaystyle <br /> {1 \ over 4} f \ left ({ x \ over 4} \ right) - {1 \ over 8} f \ left ({x \ over 8} \ right) = {x \ over 16} - {x ^ 2 \ over 64}, \\ [3mm] <br /> \ ldots, \\ <br /> \ displaystyle <br /> {1 \ over 2 ^ n} f \ left ({1 \ over 2 ^ n} \ right) - {1 \ over 2 ^ { n + 1}} f \ left ({x \ over 2 ^ {n + 1}} \ right) = {x \ over 4 ^ n} - {x \ over 8 ^ n}. <br /> \ end { array}
Складемо всі ці рівності:
\ Displaystyle f (x) - {1 \ over 2 ^ {n + 1}} f \ left ({x \ over 2 ^ {n + 1}} \ right) =
\ Displaystyle = x \ left (1 + {1 \ over 4} + {1 \ over 4 ^ 2} + \ dots + {1 \ over 4 ^ n} \ right) -x ^ 2 \ left (1 + {1 \ over 8} + {1 \ over 8 ^ 2} + \ dots + {1 \ over 8 ^ n} \ right).
Перейдемо до границі при n \ to \ infty. З огляду на обмеженість f (x)в нулі і те, що f (0) = 0, отримуємо
\ Displaystyle f (x) = {4 \ over 3} x- {8 \ over 7} x ^ 2.

Похідна і функціональні рівняння
Приклад 10. Знайти всі речові диференціюються f (x), що задовольняють рівняння
\ Displaystyle f (x + y) = {f (x) + f (y) \ over 1-f (x) f (y)}.
Рішення. Нехай x = y = 0. Маємо \ Displaystyle f (0) = {2f (0) \ over 1-f ^ 2 (0)}, звідки f (0) = 0.
Після перетворень маємо
\ Displaystyle {f (x + h) -f (x) \ over h} = {f (h) \ over h} \ cdot {1 + f ^ 2 (x) \ over 1-f (x) f (h )}.
Переходимо до межі при h \ to0, враховуючи, що \ Displaystyle \ lim_ {h \ to0} f (h) = 0, отримуємо
f ^ {\ prime} (x) = c (1 + f ^ 2 (x)),
де c = f ^ {\ prime} (0). інтегруємо:
\ Displaystyle \ int {dy \ over 1 + y ^ 2} = \ int cdx,
звідки {\ Rm arctg} \, f (x) = cx + c_1і f (x) = {\ rm tg} \, (cx + c_1). Так як f (0) = 0, то c_1 = 0, і f (x) = {\ rm tg} \, (cx).
Перевіркою переконуємося, що всі ці функції - рішення вихідного рівняння.


Приклад 11. Знайти всі функції f (x), які є рішеннями рівняння
f ^ {\ prime} (x) + xf (-x) = ax, \ quad x \ in \ mathbb {R}, \ a = const
Рішення. x \ to-x: f ^ {\ prime} (- x) -xf (x) = - ax.
Введемо нові функції:
\ Displaystyle F (x) = {f (x) + f (-x) \ over 2}, \ G (x) = {f (x) -f (-x) \ over 2}.
Функція F (x)- парна, а G (x)- непарна, f (x) = F (x) + G (x)і для цих функцій маємо
\ Begin {array} {cc} <br /> G ^ {\ prime} (x) -xG (x) = 0 & F '(x) + xF (x) = ax, \\ [3mm] <br /> \ displaystyle <br /> G (x) = ce ^ {x ^ 2 \ over 2} & F (x) = a + Ae ^ {- {x ^ 2 \ over 2}}. <br /> \ end {array}
Оскільки G (-x) = - G (x), то G (x) \ equiv0і \ Displaystyle f (x) = a + Ae ^ {- {x ^ 2 \ over 2}}.
Перевіркою переконуємося, що всі такі f (x)- дійсно рішення.

Пошук функціональних рівнянь на множині натуральних чисел
Приклад 12. Кожному натуральному числу nпоставлено у відповідність ціле невід'ємне число f (n)так, що виконуються наступні умови:
1) f (mn) = f (m) + f (n) для будь-яких двох натуральних чисел m і n;
2) f (n) = 0 , якщо остання цифра в десяткового запису числа nдорівнює 3;
3) f (10) = 0 .
Довести, що f (n) = 0для будь-якого натурального n.
Рішення. Оскільки f (10) = 0, f (10) = f (2) + f (5), f (5) \ ge0, f (2) \ ge0, то f (2) = f (5) = 0.
Будь-яке натуральне число nможна представити у вигляді n = 2 ^ k5 ^ mb, де Н.О.Д. (B, 10) = 1, Інакше b = 10l \ pm1або b = 10l \ pm3. Звідси b ^ 4 \ equiv1 \ pmod {10}або b ^ 4 = 10l + 1. f (3b ^ 4) = 0 = f (3) + 4f (b), Звідки f (b) = 0.


Завдання для самостійного осмислення  теми.
1. \ Forall x, y \ in \ mathbb {R}
f (x + y) = f (x) + f (y) + 80xy.
Знайдіть f (4/5), якщо f (1/4) = 2.
2. Знайти всі безперервні функції f (x)такі, що
f (x + y) = f (x) e ^ y + f (y) e ^ x.
3. Нехай X = \ mathbb {R} \ setminus \ {0,1 \}. Знайти всі вещественнозначние функції f (x)на X:
\ Displaystyle f (x) + f \ left (1- {1 \ over x} \ right) = 1 + x \ \ forall x \ in X.
4. Знайдіть всі функції f (x)такі, що
\ Displaystyle 3f (-x) + f \ left ({1 \ over x} \ right) + f (x) = x.
5. Знайти всі безперервні функції f (x), що задовольняють рівняння
\ Displaystyle f (x) = x (x + 1) + f \ left ({x \ over 2} \ right).
6. Розв'яжіть рівняння
f (x + y) -f (xy) = 4xy.
7. Знайдіть рішення рівняння
f (x) = f (x-1) + a ^ x, якщо f (1) = 1,
a - Постійна, в класі функцій натурального аргументу.
8. Знайти всі поліноми f (x): f (0) = 0і
f (x ^ 2 + 1) = (f (x)) ^ 2 + 1.
9. Чи існує безперервна функція f (x), певна на всій дійсній осі \ Mathbb {R}, така, що f (f (x)) = e ^ {- x}для всіх x \ in \ mathbb {R}?
10. Нехай функція f: [a, b] \ to \ mathbb {R}при всіх x, y \ in [a, b]задовольняє співвідношенню
| F (x) -f (y) | \ le M | xy | ^ {\ alpha}, \ qquad M> 0, \ alpha> 1.
Доведіть, що f- постійна функція.
11. Знайдіть безперервно-диференціюється рішення функціонального рівняння
\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y) + xy \ left ({x ^ 2 \ over 3} + {xy \ over 2} + {y ^ 2 \ over 3} \ right) , \ quad x, y \ in \ mathbb {R},
задовольняє умові f (2) = - 2.
12. У припущенні, що існує єдина функція f (x), така, що
\ Displaystyle f (0) = 1, \ f ^ {\ prime} (x) = f (x) + \ int_0 ^ 1f (t) dt,
надіте її.
13. Нехай \ Alpha \ in \ mathbb {R}. Знайдіть всі безперервні функції f: [0,1] \ to (0, + \ infty):
\ Displaystyle \ int_0 ^ 1f (x) dx = 1, \ int_0 ^ 1xf (x) dx = \ alpha, \ int_0 ^ 1x ^ 2f (x) dx = \ alpha ^ 2.
14. Знайдіть всі двічі диференціюються f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}такі, що
(F (x)) ^ 2 (f (y)) ^ 2 = f (x + y) f (xy).





Російськомовний варіант змісту

Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,
\ {Начинаются массив} {L} <br /> Р (х) + XF (х + 1) = 1, \\ [2mm] <br /> \ displaystyle F (х) + г (1-х) = Р \ влево (г \ слева ({2 \ над х + 1} \ справа) \ справа). <br /> \ {конец массива}
Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все).
Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые.
Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми.
Всегда четко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение функционального уравнения может зависеть от этого множества.
Кроме области определения функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений очень строго зависит от этого класса.
Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Рассмотрим основные приемы, помогающие найти решения таких уравнений.
Идея непрерывности
Определение. Функция е (х) называется непрерывной в точке x_0, если выполняются следующие два условия:
1) точка x_0 принадлежит области определения функции е (X_0 \ в D_f);
2) \ Displaystyle \ lim_ {х \ к x_0} е (х) = F (x_0), разумеется, в предположении, что этот предел существует.
Если хотя бы одно из этих условий нарушается, функция е (х) не является непрерывной в точке x_0, она будет разрывной в этой точке.
Определение. Функция е (х) называется непрерывной на отрезке [А, Ь], если она непрерывна во всех точках этого отрезка.
Справедлива следующая теорема:
Теорема Больцано — Коши. Если функция е (х) непрерывна на отрезке [А, Ь] и на концах этого отрезка принимает неравные значения е (а) = A и F (B) = B, то она принимает все промежуточные между A и В значения на отрезке [А, Ь].
Пример 1. Функция е непрерывна на всей вещественной прямой и удовлетворяет равенству F (F (X)) = х для всех Икс. Доказать, что уравнение Р (х) = х имеет хотя бы одно решение.
Решение. Рассмотрим функцию г (х) = Р (х) -х. Предположим, что е (х) \ х делает для всех Икс. Тогда в силу непрерывности g либо г (х)> 0 для всех Икс, либо г (х) <0 для всех Икс. (Если бы существовали такие a и б, что г (а) г (б) <0, то по теореме Больцано — Коши, внутри отрезка [А, Ь] была бы точка, в которой g обращалась бы в нуль, что противоречит предположению.
Пусть для определенности г (х) <0, то есть е (х) <х для всех Икс. Обозначим у = Р (х) <х. Тогда, так как F (F (X)) = х, то е (у) = х> и, что противоречит тому, что е (х) <х. Значит, при некотором Икс имеем Р (х) = х.
Пример 2. Функция е задана на всей вещественной оси, причем выполняется равенство
е (х + 1) Р (х) + Р (х + 1) + 1 = 0.
Доказать, что е не может быть непрерывной.
Решение. Функция е не может принимать значение -1. Действительно, при е (х) = - 1 имеем 1=0. Значит, для всех Икс е (х)> - 1 или е (х) <- 1. Выразим из нашего равенства е (х + 1):
\ Displaystyle е (х + 1) = - {1 \ над F (х) +1}.
Значит, неравенство е (х) <- 1 невозможно, иначе е (х + 1)> 0.
Если же е (х)> - 1, то должно выполняться неравенство \ Displaystyle - {1 \ над F (х) +1}> - 1, откуда е (х)> 0 и
\ Displaystyle е (х + 2) = - {1 \ над F (х + 1) +1} = - {1 \ над - {1 \ над Р (х) +1} +1} = - {Р (х ) +1 \ над F (х)} = - \ слева (1+ {1 \ над F (х)} \ справа).
следовательно, получаем, что е (х + 2) <- 1. Противоречие.
Пример 3. Найти все непрерывные функции е (х), удовлетворяющие соотношению е (2x) = F (х) для любого Икс.
Решение. В данное уравнение подставим вместо Икс х / 2 (это можно сделать, так как функция определена для всех Икс), и еще несколько раз проделаем то же самое, получим
\ Displaystyle е (х) = Р \ левая ({х \ над 2} \ справа) = F \ слева ({х \ над 4} \ справа) = \ ldots = F \ влево ({х \ над 2 ^ п} \ справа) = \ ldots
По непрерывности функции е в нуле имеем
\ Displaystyle е (х) = \ lim_ {п \ к \ infty} п (х) = \ lim_ {п \ к \ infty} F \ влево ({х \ над 2 ^ п} \ справа) = F \ слева ( \ lim_ {п \ к \ infty} {х \ над 2 ^ п} \ справа) = F (0).
Получили, что е (х) = F (0) = с, то есть функция е — постоянная.
Уравнения Коши
1. Уравнение
е (х + у) = Р (х) + е (у)
в классе непрерывных функций имеет решение е (х) = ах.
Такое же решение оно имеет и в классе монотонных функций.
2. Уравнение
е (х + у) = Р (х) е (у)
в классе непрерывных функций имеет решение е (х) = а ^ х (если не считать е (х) \ equiv0).
3. Уравнение
е (ху) = Р (х) + е (у), \ qquad х, у> 0
в классе непрерывных функций имеет решение е (х) = \ log_ax (если не считать е (х) \ equiv0).
4. Уравнение
е (ху) = Р (х) Р (у), \ qquad х, у> 0
в классе непрерывных функций имеет решение е (х) = х ^ а (если не считать е (х) \ equiv0).
Метод сведения функционального уравнения к известному с помощью замены переменной и функции
Пример 4. Найти все непрерывные функции, удовлетворяющие уравнению
е (х + у) = Р (х) + F (у) + 2xY.
Решение. В качестве вспомогательной функции возьмем функцию
г (х) = Р (х) -х ^ 2.
Подставляя в исходное уравнение е (х) = г (х) + х ^ 2, получаем
\ {Начинаются массив} {} л <br /> г (х + у) + (х + у) ^ 2 = г (х) + х ^ 2 + г (у) + у ^ 2 + 2ху, \\ < бр /> г (х + у) = г (х) + г (у), <br /> \ конец {массив}
то есть функция г (х) удовлетворяет первому уравнению Коши, откуда е (х) = г (х) + х ^ 2 = ах + х ^ 2.
Пример 5. Найти все непрерывные функции F: (0, + \ infty) \ к \ mathbb {R}, удовлетворяющие уравнению
е (ху) = х * (у) + YF (х).
Решение. Поделим уравнение на ху, получим
\ Displaystyle {е (ху) \ над ху} = {е (у) \ над у} + {Р (х) \ над х}.
Введем вспомогательную функцию \ Displaystyle г (х) = {F (х) \ над х}, тогда получим уравнение
г (ху) = г (х) + г (у),
то есть функция г (х) удовлетворяет третьему уравнению Коши, откуда е (х) = х \ log_ax.
Метод подстановок
Пример 6. Найти все решения функционального уравнения
е (ху) = у ^ кф (х) \ qquad (к \ в \ mathbb {N}).
Решение. Положим х = 0, имеем F (0) = у ^ КФ (0). Поскольку и произвольно, то F (0) = 0.
Пусть теперь х \ ne0. Подставив в уравнение у = 1 / х, получим
\ Displaystyle F (1) = \ влево ({1 \ по х} \ справа) ^ кф (х),
откуда е (х) = ах ^ к, где а = е (1).
Нетрудно убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет исходному функциональному уравнению.
Пример 7. Пусть а \ у \ CPO1 — некоторое вещественное число. Найти функцию е (х), определенную при всех х \ ne1 и удовлетворяющую уравнению
\ Displaystyle F \ влево ({х \ над X-1} \ справа) = а (х) + \ varphi (х),
где \ Varphi (х) — заданная функция, определенная при всех х \ ne1.
Решение. При замене \ Displaystyle х \ к {х \ над х-1} выражение \ Displaystyle {х \ над х-1} переходит в Икс. Получаем систему уравнений
\ Влево \ {\ {начинаются массив} {L} <br /> \ displaystyle <br /> F \ влево ({х \ над X-1} \ справа) = а (х) + \ varphi (х), \ \ [3 мм] <br /> \ displaystyle <br /> Р (х) = а \ слева ({х \ над X-1} \ справа) + \ varphi \ влево ({х \ над X-1} \ вправо ), <br /> \ {конец массива} \ вправо.
решением которой при а ^ 2 \ ne1 является функция
\ Displaystyle F (х) = {а \ varphi (х) + \ varphi \ слева ({х \ над х-1} \ справа) \ над 1-а ^ 2}.
Предельный переход
Пример 8. Функция F: \ mathbb {R} \ к \ mathbb {R} непрерывна в точке 0 и \ FORALL х \ в \ mathbb {R} выполняется равенство
2f (2x) = F (х) + х.
Найти все такие е.
Решение. Пусть функция е удовлетворяет условию задачи. Тогда
\ {Начинаются массив} {L} <br /> \ displaystyle <br /> Р (х) = {1 \ 2} над F \ влево ({х \ над 2} \ справа) + {х \ над 4} = {1 \ более 2} \ влево ({1 \ над 2} \ влево (F \ слева ({х \ над 4} \ справа) + {х \ над 8} \ справа) \ справа) + {х \ над 4 } = \\ [3 мм] <br /> \ displaystyle <br /> = {1 \ над 4} F \ влево ({х \ над 4} \ справа) + {х \ над 16} + {х \ над 4 } = \ ldots = {1 \ над 2 ^ п} е \ влево ({1 \ над 2 ^ п} \ справа) + {х \ над 2 ^ {2n}} + {х \ над 2 ^ {2n-2 }} + \ точек + {х \ над 4} = \\ [3 мм] <br /> \ displaystyle <br /> = \ lim_ {п \ к \ infty} {1 \ над 2 ^ N} F \ влево ({ 1 \ 2 над ^ п} \ справа) + \ lim_ {п \ к \ infty} \ sum_ {к = 1} ^ п {х \ над 4 ^ к} = {х \ свыше 3}. <br /> \ {конец массива}
Проверка показывает, что е (х) = х / 3 действительно является решением.
Пример 9. Найти функцию е (х), ограниченную на любом конечном интервале и удовлетворяющую уравнению
\ Displaystyle е (х) - {1 \ 2} над F \ влево ({х \ над 2} \ справа) = хх ^ 2.
Решение. х = 0 \ Rightarrow F (х) = 0.
\ {Начинаются массив} {L} <br /> \ displaystyle <br /> {1 \ 2} над F \ влево ({х \ над 2} \ справа) - {1 \ над 4} F \ влево ({х \ над 4} \ справа) = {х \ над 4} - {х ^ 2 \ над 8}, \\ [3 мм] <br /> \ displaystyle <br /> {1 \ над 4} F \ влево ({ х \ над 4} \ справа) - {1 \ 8} над F \ влево ({х \ над 8} \ справа) = {х \ над 16} - {х ^ 2 \ старше 64 лет}, \\ [3 мм] <br /> \ ldots, \\ <br /> \ displaystyle <br /> {1 \ над 2 ^ N} F \ влево ({1 \ над 2 ^ п} \ справа) - {1 \ над 2 ^ { п + 1}} F \ влево ({х \ над 2 ^ {п + 1}} \ справа) = {х \ над 4 ^ п} -. {х \ над 8 ^ п} <br /> \ {конец массив}
Сложим все эти равенства:
\ Displaystyle е (х) - {1 \ над 2 ^ {п + 1}} F \ влево ({х \ над 2 ^ {п + 1}} \ справа) =
\ Displaystyle = х \ влево (1+ {1 \ над 4} + {1 \ над 4 ^ 2} + \ точек + {1 \ над 4 ^ п} \ справа) -х ^ 2 \ слева (1+ {1 \ более 8} + {1 \ над 8 ^ 2} + \ точек + {1 \ над 8 ^ п} \ справа).
Перейдем к пределу при п \ к \ infty. Учитывая ограниченность е (х) в нуле и то, что F (0) = 0, получаем
\ Displaystyle е (х) = {4 \ свыше 3} х {8 \ над 7} х ^ 2.
Производная и функциональные уравнения
Пример 10. Найти все вещественные дифференцируемые функции е (х), удовлетворяющие уравнению
\ Displaystyle е (х + у) = {F (х) + е (у) \ над 1-F (х) Р (у)}.
Решение. Пусть х = у = 0. Имеем \ Displaystyle F (0) = {2f (0) \ над 1-е ^ 2 (0)}, откуда F (0) = 0.
После преобразований имеем
\ Displaystyle {е (х + Л) -f (х) \ над Н} = {F (H) \ над ч} \ CDOT {1 + е ^ 2 (х) \ над 1-е (х) е (ч )}.
Переходим к пределу при ч \ to0, учитывая, что \ Displaystyle \ lim_ {ч \ to0} е (з) = 0, получаем
е ^ {\} простые (х) = с (1 + е ^ 2 (х)),
где с = е ^ {\} простое число (0). Интегрируем:
\ Displaystyle \ int {ау \ над 1 + у ^ 2} = \ int CDX,
откуда {\ Гт arctg} \, ф (х) = сх + c_1 и е (х) = {\ гт Т.Г.} \, (сх + c_1). Так как F (0) = 0, то c_1 = 0, и е (х) = {\ гт Т.Г.} \, (сх).
Проверкой убеждаемся, что все эти функции — решения исходного уравнения.
Пример 11. Найти все функции е (х), являющиеся решениями уравнения
е ^ {\} простое число (х) + XF (х) = ах, \ четырехъядерных х \ в \ mathbb {R}, \ а = соп
Решение. х \ к-х: е ^ {\} простое число (- х) -xf (х) = - ах.
Введем новые функции:
\ Displaystyle F (х) = {F (х) + е (-х) \ более 2}, \ G (х) = {F (х) -f (-x) \ более 2}.
Функция F (х) — четная, а G (х) — нечетная, е (х) = Р (х) + G (х), и для этих функций имеем
\ {Начинаются массив} {} сс <br /> G ^ {\} простое число (х) -xG (х) = 0 & F '(х) + Xf (х) = ах, \\ [3 мм] <br /> \ displaystyle <br /> G (х) = се ^ {х ^ 2 \ над 2} & F (х) = а + Ае ^. {- {х ^ 2 \ над 2}} <br /> \ {конец массива}
Поскольку G (-x) = - G (х), то G (х) \ equiv0 и \ Displaystyle е (х) = а + Ae ^ {- {х ^ 2 \ более 2}}.
Проверкой убеждаемся, что все такие е (х) — действительно решение.
Решение функциональных уравнений на множестве натуральных чисел
Пример 12. Каждому натуральному числу N поставлено в соответствие целое неотрицательное число е (п) так, что выполняются следующие условия:
1) е (тп) = F (M) + F (п) для любых двух натуральных чисел m и N;
2) е (п) = 0, если последняя цифра в десятичной записи числа N равна 3;
3) F (10) = 0.
Доказать, что е (п) = 0 для любого натурального N.
Решение. Поскольку F (10) = 0, F (10) = F (2) + F (5), е (5) \ ge0, е (2) \ ge0, то F (2) = F (5) = 0.
Любое натуральное число N можно представить в виде п = 2 ^ К5 ^ м.б., где Н.О.Д.(Б, 10) = 1, иначе б = 10л \ pm1 или б = 10л \ pm3. Отсюда б ^ 4 \ equiv1 \ PMOD {10} или б ^ 4 = 10л + 1. е (3b ^ 4) = 0 = F (3) + 4f (б), откуда F (B) = 0.
Задачи
1. \ FORALL х, у \ в \ mathbb {R}
е (х + у) = Р (х) + F (у) + 80xy.
Найдите е (4/5), если F (1/4) = 2.
2. Найти все непрерывные функции е (х) такие, что
е (х + у) = Р (х) е ^ у + е (у) е ^ х.
3. Пусть X = \ mathbb {R} \ setminus \ {0,1 \}. Найти все вещественнозначные функции е (х) на Икс:
\ Displaystyle е (х) + е \ слева (1- {1 \ по х} \ справа) = 1 + х \ \ FORALL х \ в X.
4. Найдите все функции е (х) такие, что
\ Displaystyle 3f (-х) + ж \ слева ({1 \ по х} \ правая) + F (х) = х.
5. Найти все непрерывные функции е (х), удовлетворяющие уравнению
\ Displaystyle е (х) = х (х + 1) + F \ слева ({х \ над 2} \ справа).
6. Решите уравнение
е (х + у) -f (х) = 4xy.
7. Найдите решение уравнения
е (х) = Р (х-1) + а ^ х, если F (1) = 1,
a — постоянная, в классе функций натурального аргумента.
8. Найти все полиномы е (х): F (0) = 0 и
е (х ^ 2 + 1) = (Р (х)) ^ 2 + 1.
9. Существует ли непрерывная функция е (х), определенная на всей вещественной оси \ Mathbb {R}, такая, что е (е (х)) = е ^ {- х} для всех х \ в \ mathbb {R}?
10. Пусть функция F: [а, Ь] \ в \ mathbb {R} при всех х, у \ в [а, Ь] удовлетворяет соотношению
| F (х) -f (у) | \ ле М | х | ^ {\ альфа}, \ qquad M> 0, \ альфа> 1.
Докажите, что е — постоянная функция.
11. Найдите непрерывно-дифференцируемое решение функционального уравнения
\ Displaystyle е (х + у) = Р (х) + е (у) + ху \ влево ({х ^ 2 \ свыше 3} + {ху \ над 2} + {у ^ 2 \ свыше 3} \ справа) , \ четырехъядерных х, у \ в \ mathbb {R},
удовлетворяющее условию F (2) = - 2.
12. В предположении, что существует единственная функция е (х), такая, что
\ Displaystyle F (0) = 1, \ е ^ {\} простое число (х) = Р (х) + \ int_0 ^ 1е (т) дт,
надите ее.
13. Пусть \ Альфа \ в \ mathbb {R}. Найдите все непрерывные функции F: [0,1] \ к (0, + \ infty):
\ Displaystyle \ int_0 ^ 1е (х) ах = 1, \ int_0 ^ 1xf (х) ах = \ альфа \ int_0 ^ 1х ^ 2f (х) ах = \ альфа ^ 2.
14. Найдите все дважды дифференцируемые функции F: \ mathbb {R} \ к \ mathbb {R} такие, что
(Р (х)) ^ 2- (е (у)) ^ 2 = F (х + у) Р (х).

   При розв’язуванні  рівнянь Коші розв’язки знаходяться за допомогою методів математичного аналізу зокрема таких,  як границя послідовності та функції, неперервність, диференційованість тощо.
а )Метод граничного переходу.  Суть цього методу полягає в наступному. Здійснюється підстановка, яка переводить вираз, який стоїть під знаком   в одному члені рівняння, у вираз, який  стоїть під знаком   у другому його члені. Ця підстановка повторюється n разів. Дістанемо систему n лінійних рівнянь. Виключаючи послідовно невідомі, ми матимемо рівняння виду

f(x)=аn f(bn)+cn,

де  аn , bn, cn, - функціональні члени деяких послідовностей, а n фіксоване натуральне число.

Якщо існують границі при n   послідовностей  аn ,  bn ,  cn, причому границя bn являється дійсним числом, тоді граничним переходом, використовуючи неперервність f(x), знайдемо вираз для невідомої функції. Перевірка являється обов’язковою складовою розв’язку функціонального рівняння.
   Цим способом можуть бути знайдені розв’язки в класі неперервних функцій рівняння виду

f(ах+b) = kf(x)+Р(х),  

f(ах+b) = f(x)cР(х),  
                де а> 1, |k|<1, Р(х) – многочлен, с>0.  

б ) Метод диференціювання. Він полягає в тому, що для знаходження розв’язку функціонального рівняння в класі диференційованих функцій доцільно про диференціювати обидві його частини, при  умові, що похідна існує. В результаті дістанемо функціональне рівняння, яке містить ще й похідну невідомої функції. Розв’язуючи це рівняння, як функціональне, відносно похідної, дістанемо, що шукана функція є однією з первісних для цієї похідної.
в ) Метод Коші. Цим методом розв’язок рівняння знаходиться за допомогою спеціальних підстановок послідовно для натуральних, раціональних значень аргумента, а потім граничним переходом – для додатних дійсних x і, нарешті, розповсюджується на всі дійсні значення аргумента.
г ) Метод рекурентних співвідношень. Нехай задане функціональне рівняння натурального аргумента має вигляд рекурентного співвідношення, тобто формули, яка виражає           через попереднє значення  і т.д. Спочатку обчислюють значення функції від декількох перших чисел натурального ряду ( при цьому використовується рекурентне співвідношення). Потім пробують прогнозувати вид шуканої функції (гіпотеза!), після чого переконуються у справедливості здогадки за допомогою  методу математичної індукції. Саме так знаходяться формули для n-го члена арифметичної та геометричної прогресій, послідовності Фібоначчі:


   
Опубліковано о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)