СПОСІБ підстановки для функціональних рівнянь

Запитання: Чому  обернена до лінійної функції являється лінійною функцією?

Відповідь: Графіки двох взаємно обернених функцій мають властивість симетрії відносно прямої у = х. А графіком лінійної функції(бієктивна функція) є пряма лінію. А при симетричному відображені пряма переходить у пряму лінію. А прямі в системі координат можуть бути задані лінійними функціями. Тому дві лінійні функції  

f(x)=kx+l, 

p(x)=ax+b, 

називаються взаємно оберненими,  якщо виконується рівність

  f(p(x)) = p(f(x)) = х.

Знайти лінійну функцію р(х)  таку, що виконується

                                р(f(х)) = f(p(x))= х,

якщо f(х)= -4х + 3.

Розв’язання:

   Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення х₁= х_2, для яких  f(х₁)=f( х₂). Тоді -4х₁+3=-4х₂+3 звідки х₁  =  х₂. Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай  у=-4х+3. Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х.

х = -4у + 3,   звідси    -4у = х - 3,

остаточно       у = -0,25х + 0,75.  

   Таким чином,

 f(х)= -4х + 3 та р(х) = -0,25х + 0,75. Виконаємо перевірку.

р(f(х))= -0,25(-4х + 3) + 0,75 = х - 0,75 + 0,75 = х.

  Області визначення та області значення обох функцій становлять множину дійсних чисел.

Відповідь: р(х) = -0,25х + 0,75.

Запитання: Чому  обернена до лінійно-дробової функції являється лінійно-дробовою функцією?

Відповідь: Графіки двох взаємно обернених функцій мають властивість симетрії відносно прямої у = х. А графіком лінійно-дробової функції є рівностороння гіпербола(це бієктивна функція), з асимптотами паралельними осям координат. А при симетричному відображені графік гіперболи, переходить у гіперболу з тими самими відстанями між відповідними точками. А  гіперболи в системі координат можуть бути задані лінійно-дробовими функціями. Тому дві лінійно-дробові функції  

f(x)=(kx+l)/(nx+m), 

p(x)=(ax+b)/(cx+d), 

називаються взаємно оберненими,  якщо виконується рівність

  f(p(x)) = p(f(x)) = х.

Знайти лінійно-дробову функцію р(х)  таку, що виконується

                                р(f(х)) = f(p(x)) = х,

якщо f(х)= (2х + 1)/(3х + 2).

Розв’язання:

   Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення х₁=х_2, для яких  f(х₁)=f( х₂). Тоді (2х₁ + 1)/(3х₁ + 2) = (2х₂ + 1)/(3х₂ + 2) звідки х₁ =  х₂. Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай  f(х)=у = (2х + 1)/(3х + 2). Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х. І отримаємо у = (-х + 1)/(3х - 2).

,

остаточно       у = р(х) = (-х + 1)/(3х - 2). 

   Таким чином,

 f(х)=  (2х + 1)/(3х + 2) та (-х + 1)/(3х - 2).. 

Виконаємо перевірку виразу   р(f(х)) = f(p(x)) = х, і впевнемося, що рівнсть істинна.

  Області визначення та області значення обох функцій  взаємно обмінюються.

Відповідь: р(х) = (-х + 1)/(3х - 2). 

 Застосування поняття групи 

для знаходження   розв’язку 

функціонального   рівняння.

       Означення групи функцій.

    Довільна множина G функцій, визначених на деякій множині М називається групою відносно операції композиції, якщо вона володіє такими властивостями:

1. Для будь-яких двох функцій з множини G Їх композиція також належить G.

2. Функція f(х)=х теж належить множині G.

3. Для будь-якої функції  f(х) з множини G існує обернена функція f ^-1 (х), яка належить множині G.

     Наведемо приклади таких груп функцій:

а) Множина лінійних функцій p_n(х) = ах+b, де а - дійсне число, крім 0, b - дійсне число;

б) p₁(х)=х, p₂(х)=, 1/(1-x)   p₃(х)=(x-1)/x;

в) p₁= x, p₂= a-x;

г) p₁= x, p₂= a/x;

д) p₁= x, p₂= a/x; p₃= -x, p₄= -a/x;

е) p₁= x, p₂= 1/x; p₃= -x, p₄= -1/x; p₅= (x-1)/(x+1), p₆= (1+x)/(x-1); p₇= (1-x)/(x+1);, p₈= (1+x)/(1-x);

є) p₁= x, p₂= a²/x; p₃= a-x, p₄= ax/(x-a); p₅= (ax-a²)/x, p₆= a²/(a-x);

У функціональному співвідношенні чи рівнянні виду

          К₁f(p₁)+ К₂f(p₂)+ К₃f(p₃)+....+ К_nf(p_n) =М        (*)

вирази, які стоять під знаком невідомої функції f(х)  являються елементами групи G, яка складається із  n функцій:

    p₁(х)=х, p₂(х), p₃(х), p₄(х), p₅(х), p₆(х),..., p_n(х) належить групі функційG

причому коефіцієнти  К_1, К_2,....., Кn_, та М – довільні функції, що задовольняють додатковим обмеженням на рівняння.

   Припустимо, що функціональне  рівняння   (*) має розв’язок. Виконаємо послідовні

Композиції, тобто виконаємо підстановку х = p₂ (x)

p₁ p_2,  p₂ p_{2 ,} p₃ p_{2, .........,} p_n p_2.

  Остання послідовність складається з елементів групи. Продовжимо виконувати послідовні підстановки,

х p₃ (x), х p₄ (x), х p₅(x)

 щоб отримати систему із n лінійних  функціональних рівнянь.

    Якщо вдається розв’язати цю систем, то слід перевірити розв’язок, чи задовольняє він рівняння(*).

https://www.youtube.com/watch?v=bSEwOnzPrpU - урок тиврівського учителя математики Володимира Сидорука "СПОСІБ підстановки для функціональних рівнянь"

Відкритий урок: "Функціональні рівняння". Олександр Храбров

Знаходження розв’язку функціонального рівняння, 

які зводяться до квадратного виду.

Функціональне рівняння  виду

             а(x) f² (x) + b(x) f (x) + с(x) = 0,               (8.1 )

       де а(х), b(х), с(х),  – ненульові відомі функції дійсного аргументу х,

        f – невідома функція дійсного аргументу

формально може мати розв’язок, якщо D = b²-4ас>=0. Його можна знайти  за стандартною схемою розв’язання квадратних рівнянь.

 Приклад 1. Знайти розв’язок f: R відображає в R функціонального рівняння та перевірити його, якщо

  f² (x)  - (cos x) f (x) – 0,25 – 0,5 cos x = 0,   (8.2 )      

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  дискримінант , щоб впевнитися ,чи має рівняння розв’язки.

   D = в²-4ас = (-cos x )² – 4(– 0,25 – 0,5 cos x)=(1+ cos x)²  - невідємний

За формулою розв’язків квадратного рівняння відшукуємо

 

            f ₁ (x)=-(cosx-1-cosx)/2 = 0,5

      f ₂(x)= (cosx+1+cosx)/2 =cosx+0,5

Таким чином, два розв’язки  

f ₁ (x)= -0,5, 

 f ₂(x)= cos x + 0.5

перевіряємо для даного рівняння. (8.2 ).

Кривина плоскої кривої. Радіус кривини

Плоскою кривою називають лінію, всі точи якої лежать в одній площині. Кривина плоскої кривої визначає ступінь її відхилення від прямої і в декартовій системі координат y=f(x) визначається залежністю

Кривина кривої визначається в кожній її точці. Якщо крива задана параметрично  то кривина визначається залежністю

У полярних координатах кривина лінії  обчислюється за формулою

Радіусом кривини лінії є величина, обернена до кривини

Радіус кривини рівний радіусу дотичного кола в заданій точці. Центр цього кола називається центром кривини, а його координати M(x0; y0) знаходять за формулами

Коло, центр якого співпадає з центром кривини лінії в даній точці M(x0; y0) і з радіусом, що рівний радіусу кривини, називається колом кривини лінії в цій точці.
Еволюта лінії – це геометричне місце центрів її кривини.

Розглянемо приклади із збірника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. "Вища математика" для засвоєння матеріалу на практиці.

Приклад 1. Знайти кривини ліній.

(5.983)y=x4-8x3+20x-12 в точці (1;1).

Розв'язок. Знайдемо першу та другу похідну функції


Обчислюємо значення похідних в заданій точці


Результати підставляємо в формулу кривини кривої

На цьому приклад розв'язано і як можна бачити обчислення не складні.

(5.986)y=ln(1+x2) у початку координат.

Розв'язок. Обчислюємо похідну логарифма


Знаходимо значення похідних в початку координат

Знайдені величини підставляємо в рівняння кривини кривої

Кривина рівна 2.

(5.990)  в точці t=Pi/3.

Розв'язок. Знаходимо похідні параметрично заданої функції




Знаходимо значення похідних в заданій точці




Отримані значення підставляємо в формулу


Кривина рівна 1/4.

(5.993)  при .

Розв'язок. Знаходимо першу та другу похідну функції, заданої в полярній системі координат


При заданому куті функція та похідні приймуть наступні значення:



Кривину в полярній системі координат визначаємо за формулою

Знайдені значення функції та похідних підставляємо в співвідношення та обчислюємо


Практична сторона обчислення кривини плоскої кривої полягає у відшуканні значень першої та другої похідної в заданій точці. Якщо Вам без труднощів вдається диференціювати функції, то обчислювати кривину та радіус кривини Ви навчитеся без великих зусиль.