Функціональні рівняння для школярів: Поліноми

1. Теорема про ділення із лишком

Теорема (про ділення із лишком). Для даних поліномів f, g

$(G \ ne0)$ існують і єдині поліноми

такі, що

де $\ Deg r <\ deg g$ .

Приклад 1. Відомо, що залишок від ділення полінома P (x)

на

рівний

, від поділу P (x)

на

рівний

. Знайдіть залишок від ділення P (x)

на

Рішення. нехай

$P (x) = (x ^ 2-4x + 3) Q (x) + R (x) = (x-1) (x-3) Q (x) + ax + b, \ \ deg R \ le1.$

Тоді

. Звідси

Приклад 2. Визначити, чи буде поліном $p (x) = x ^ {2004} + x ^ 4-1004x ^ 2 + 1002$ ділитися на (X-1) ^ 2

Рішення. Нехай p (x) = (x-1) ^ 2q (x) + ax + b

. Тоді, як і в попередній задачі, a + b = 0

. Тепер продифференцируем рівність по

$p ^ {\ prime} (x) = 2 (x-1) q (x) + (x-1) ^ 2q ^ {\ prime} (x) + a,$

і $p ^ {\ prime} (1) = 0 = a$ . Звідси випливає подільність.

- Корінь

кратності

2. Теорема Вієта

Теорема Вієта. Нехай коріння многочлена

$f (x) = a_0x ^ n + a_1x ^ {n-1} + \ ldots + a_n$

рівні $\ Lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_n$ . тоді

$\ Begin {array} {l} \ lambda_1 + \ lambda_2 + \ ldots + \ lambda_n = -a_1 / a_0, \\ \ lambda_1 \ lambda_2 + \ lambda_1 \ lambda_3 + \ ldots + \ lambda_ {n-1} \ lambda_n = a_2 / a_0, \\ \ lambda_1 \ lambda_2 \ lambda_3 + \ ldots + \ lambda_ {n-2} \ lambda_ {n-1} \ lambda_n = -a_3 / a_0, \\ \ ldots , \\ \ lambda_1 \ lambda_2 \ ldots \ lambda_n = (- 1) ^ na_n / a_0. \ end {array}$

Приклад 3. Відомо, що рівняння

має

речових кореня, сума яких дорівнює

. Знайти

Рішення. За теоремою Вієта $a = \ pm2$ . Залишилося перевірити, при якому

рівняння має

речових кореня. a = 2

3. Суми Ньютона

Нехай $f (x) = a_0x ^ n + a_1x ^ {n-1} + \ dots + a_n \ in \ mathbb {C} [x]$ , $a_0 \ ne0$ . Позначимо $\ Lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_n$ його коріння. І поліном $f (x) = a_0 (x- \ lambda_1) (x- \ lambda_2) \ ldots (x- \ lambda_n)$ .

Визначення. вираз

$s_k = \ lambda_1 ^ k + \ lambda_2 ^ k + \ dots + \ lambda_n ^ k$

називається

- ой сумою Ньютона полінома f (x)

Знайдемо вираз s_k

через коефіцієнти f (x)

. Для цього розглянемо дріб

$\ Begin {array} {l} \ displaystyle {f ^ {\ prime} (x) \ over f (x)} = {(x- \ lambda_2) (x- \ lambda_3) \ dots (x- \ lambda_n) + (x- \ lambda_1) (x- \ lambda_3) \ dots (x- \ lambda_n) \ over (x- \ lambda_1) (x- \ lambda_2) \ dots (x- \ lambda_n)} + \\ [3mm] \ displaystyle \ ldots + {(x- \ lambda_1) (x- \ lambda_2) \ ldots (x- \ lambda_ {n-1}) \ over (x- \ lambda_1) (x- \ lambda_2) \ dots (x- \ lambda_n)} = \ sum_ {j = 1} ^ n {1 \ over x- \ lambda_j}. \ end {array}$

Розкладемо тепер кожну дріб $\ Displaystyle {1 \ over x- \ lambda_j}$ за ступенями $\ Displaystyle {1 \ over x}$ :

$\ Displaystyle {1 \ over x- \ lambda_j} = {1 \ over x} \ left (1 + {\ lambda_j \ over x} + {\ lambda_j ^ 2 \ over x ^ 2} + \ dots \ right) = { 1 \ over x} + {\ lambda_j \ over x ^ 2} + {\ lambda_j ^ 2 \ over x ^ 3} + \ ldots + {\ lambda_j ^ k \ over x ^ {k + 1}} + \ ldots$

і підставимо в першу рівність:

$\ Begin {array} {ll} \ displaystyle {f ^ {\ prime} (x) \ over f (x)} & \ displaystyle = {1 \ over x} + {\ lambda_1 \ over x ^ 2} + {\ lambda_1 ^ 2 \ over x ^ 3} + \ dots + {\ lambda_1 ^ k \ over x ^ {k + 1}} + \ ldots + \\ [3mm] & \ displaystyle + {1 \ over x} + {\ lambda_2 \ over x ^ 2} + {\ lambda_2 ^ 2 \ over x ^ 3} + \ dots + {\ lambda_2 ^ k \ over x ^ {k + 1}} + \ ldots + \\ [3mm] & \ displaystyle + {1 \ over x} + {\ lambda_n \ over x ^ 2} + {\ lambda_n ^ 2 \ over x ^ 3} + \ dots + {\ lambda_n ^ k \ over x ^ {k + 1}} + \ ldots = \\ [3mm] & \ displaystyle = {s_0 \ over x} + {s_1 \ over x ^ 2} + {s_2 \ over x ^ 3} + \ dots + {s_k \ over x ^ {k + 1}} + \ ldots \ end {array }$

Домножим обидві частини цієї рівності на f (x)

, отримаємо

тотожність

$\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x) \ equiv f (x) \ left ({s_0 \ over x} + {s_1 \ over x ^ 2} + {s_2 \ over x ^ 3} + \ dots + {s_k \ over x ^ {k + 1}} + \ dots \ right).$

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях

в цьому тотожність, отримуємо рівності:

$\ Begin {array} {llclccccc} x ^ {n-1} &: & na_0 & = a_0s_0, &&&&& \\ x ^ {n-2} &: & (n-1) a_1 & = a_1s_0 & + a_0s_1, &&&& \\ x ^ {n-3} &: & (n-2) a_2 & = a_2s_0 & + a_1s_1 & + a_0s_2, &&& \\ \ ldots &&&&&&&& \\ 1 &: & a_ {n-1} & = a_ {n-1} s_0 & + a_ {n-2} s_1 & + \ dots & + a_0s_ {n-1}, && \\ x ^ {- 1} &: & 0 & = a_ns_0 & + a_ {n-1} s_1 & + \ dots & + a_1s_ {n-1} & + a_0s_n, & \\ x ^ {- 2} &: & 0 & = & a_ns_1 & + \ dots & + a_2s_ {n- 1} & + a_1s_n & + a_0s_ {n + 1}, \\ \ ldots &&&&&&&& \ end {array}$

Вирішуючи їх послідовно, отримуємо рекурсивні формули Ньютона для s_k

$\ Begin {array} {l} s_0 = n, \ s_1 = -a_1 / a_0, \\ s_k = \ left \ {\ begin {array} {lll} - ( a_1s_ {k-1} + a_2s_ {k-2} + \ dots + a_ {k-1} s_1 + ka_k) / a_0 & k \ le n; \\ - (a_1s_ {k-1} + a_2s_ {k-2} + \ dots + a_ns_ {kn}) / a_0 & k> n. \ end {array} \ right. \ end {array}$

Приклад 4. Довести, що

$\ Displaystyle s_k = (- 1) ^ k \ left | \ begin {array} {ccccc} a_1 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 2a_2 & a_1 & 1 & \ ldots & 0 \\ 3a_3 & a_2 & a_1 & \ ldots & 0 \\ \ ldots &&&& \\ ka_k & a_ {k-1} & a_ {k-2} & \ dots & a_1 \ end {array} \ right |,$
де s_k

- суми Ньютона полінома $f (x) = x ^ n + a_1x ^ {n-1} + \ dots + a_n$ .

Рішення. Запишемо вирази для $s_1, s_2, \ ldots, s_k$

$\ Begin {array} {l} s_1 = -a_1, \\ s_2 + a_1s_1 = -2a_2, \\ s_3 + a_1s_2 + a_2s_1 = -3a_3, \\ \ ldots, \\ s_k + a_1s_ {k-1} + a_2s_ {k-2} + \ dots + a_ {k-1} s_1 = -ka_k. \ end {array}$

Розглянемо ці рівності як систему лінійних рівнянь щодо $s_1, \ ldots, s_k$ і висловимо s_k

за формулами Крамера:

$s_k = {\ left | \ begin {array} {ccccc} 1 & 0 & 0 & \ dots & -a_1 \\ a_1 & 1 & 0 & \ dots & -2a_2 \\ a_2 & a_1 & 1 & \ dots & -3a_3 \\ \ dots &&&& \\ a_ {k-1} & a_ {k-2} & a_ {k-3} & \ dots & -ka_k \ end {array} \ right | \ over \ left | \ begin {array} {ccccc} 1 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ a_1 & 1 & 0 & \ dots & 0 \\ a_2 & a_1 & 1 & \ dots & 0 \\ \ dots &&&& \\ a_ {k- 1} & a_ {k-2} & a_ {k-3} & \ dots & 1 \ end {array} \ right |}$

Далі, враховуючи, що знаменник дорівнює одиниці, переставляємо стовпці в чисельнику і приходимо до потрібного нам рівності.

Приклад 5. Обчислити суму

$\ Displaystyle {1 \ over 2-x_1} + {1 \ over 2-x_2} + {1 \ over 2-x_3}, $

де

- корені полінома $\ Varphi (x) = x ^ 3-3x-1$ .

Відповідь. $\ Displaystyle {\ varphi ^ {\ prime} (2) \ over \ varphi (2)} = 9$ .

Рішення.

$\ Displaystyle {\ varphi ^ {\ prime} (x) \ over \ varphi (x)} = {1 \ over x-x_1} + {1 \ over x-x_2} + {1 \ over x-x_3},$

так як поліном $\ Varphi (x)$ не має кратних коренів: його дискримінант $\ Displaystyle {\ cal D} (\ varphi (x)) = {9 \ over 4} - {1 \ over 27} \ ne0$ . Звідси відповідь.

4. Теорема Лагранжа

Розглянемо поліном

$W (x) = (x-x_1) \ times \ dots \ times (x-x_n), \ \ deg W = n.$

Теорема. Нехай числа $x_1, \ ldots, x_n$ все різні. Для полінома W (x)

справедливі такі рівності Ейлера - Лагранжа :

$\ Displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac {x_j ^ k} {W ^ {\ prime} (x_j)} = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0 & if \ k <n-1; \\ 1 & if \ k = n-1. \ End {array} \ right.$

Доведення. Побудуємо інтерполяційний поліном по наступній таблиці:

$\ Begin {array} {c | ccc} \ arraycolsep = 1cm x & x_1 & \ dots & x_n \\ \ hline y & x_1 ^ k & \ dots & x_n ^ k \ end {array}$

З одного боку, відповідь відома заздалегідь: $f (x) \ equiv x ^ k$ . З іншого боку, формула інтерполяційного полінома Лагранжа дає його ж у вигляді суми:

$x ^ k \ equiv \ sum_ {j = 1} ^ n x_j ^ k \ frac {W (x)} {W ^ {\ prime} (x_j) (x-x_j)} \ equiv \ underbrace {x ^ {n -1} \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac {x_j ^ k} {W ^ {\ prime} (x_j)} + \ ldots}.$

У цьому тотожність ступеня поліномів зліва і справа повинні бути однаковими.

Якщо

, то старший коефіцієнт правого полінома повинен звернутися в нуль. Якщо ж k = n-1

, то повинні співпасти старші коефіцієнти обох полиномов.

5. результанти і дискримінант

для поліномів $f (x), g (x) \ in \ mathbb {C} [x]$

$f (x) = a_0x ^ n + a_1x ^ {n-1} + \ ldots + a_n, g (x) = b_0x ^ m + b_1x ^ {m-1} + \ ldots + b_m$

( $a_0 \ ne0,$ $b_0 \ ne0$ ) Складемо квадратну матрицю порядку m + n

$\ Begin {minipage} [t] {6.5cm} \ mbox {} \ vskip-9.3mm $ M = \ left (\ begin {array} [l] {cccccccc} a_0 & a_1 & a_2 & \ ldots & \ ldots & a_n & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 & \ ldots & \ ldots & a_ {n-1} & a_n & 0 \\ &&& \ ldots &&&& \\ 0 & 0 & \ ldots & a_0 & a_1 & \ ldots && a_n \\ 0 & 0 & \ ldots && b_0 & b_1 & \ ldots & b_m \\ 0 & 0 & \ ldots & b_0 & b_1 & \ ldots & b_m & 0 \\ &&& \ ldots &&&& \\ b_0 & \ ldots & \ ldots & b_m & 0 & \ ldots & 0 & 0 \ end {array} \ right) $ \ end {minipage} \ hfill \ begin {minipage} [t] {4.25cm} \ mbox {} \ vskip-9.8mm \ hskip16mm $ \ begin {array } {l} \ left. \ begin {array} {l} \\ \\ \\ \\ \ end {array} \ right \} m \ \ \ left. \ begin {array} {l} \\ \\ \\ \\ \ end {array} \ right \} n \ end {array }, $ \ end {minipage}$

елементи вище a_n

, і нижче

всі рівні нулю.

Визначення. вираз

${\ Cal R} (f, g) \ stackrel {def} {=} (- 1) ^ {n (n-1) / 2} \ det M$

називається результанти полиномов f (x)

(в формі Сильвестра).

Теорема. Для поліномів f (x)

${\ Cal R} (f, g) = a_0 ^ m \ prod_ {j = 1} ^ ng (\ lambda_j),$

Теорема. Для того щоб f (x)

мали спільне коріння, необхідно і достатньо виконання умови ${\ Cal R} (f, g) = 0$ .

Для того щоб поліном $f (x) = a_0x ^ n + a_1x ^ {n-1} + \ ldots + a_n \ in \ mathbb {C} [x]$ мав разовий корінь необхідно і досить, щоб він мав спільне коріння зі своєю похідною $f ^ {\ prime} (x)$ . Для цього необхідно і достатньо, щоб ${\ Cal R} (f, f ^ {\ prime}) = 0$ .

відповідний визначник
$D = \ left | \ begin {array} {ccccccc} a_0 & a_1 & \ ldots & a_n &&& \\ & a_0 & a_1 & \ ldots & a_n & \ mathbb {O} & \\ && \ ddots & \ ddots &&& \\ &&& a_0 & a_1 & \ ldots & a_n \\ & \ mathbb {O} &&& na_0 & \ ldots & a_ {n-1} \\ &&& na_0 & \ ldots & a_ {n-1} \\ && \ ldots &&& \ mathbb {O} & \\ na_0 & \ ldots & a_ {n-1} &&&& \ end {array} \ right |$

ділитиметься на a_0

(загальний множник елементів першого стовпця).

Визначення. Вираз D / a_0

називається дискримінантом полінома f (x)

і позначається ${\ Cal D} (f)$ :

${\ Cal D} (f) \ stackrel {def} {=} D / a_0 = (- 1) ^ {n (n-1) / 2} {\ cal R} (f, f ^ {\ prime}) / a_0.$

Вправа. Доведіть, що

$\ Displaystyle {\ cal D} (f) = a_0 ^ {2n-2} \ prod_ {1 \ le j <k \ le n} (\ lambda_k- \ lambda_j) ^ 2.$

Тут $\ Lambda_1, \ dots, \ lambda_n$ - коріння f (x)

Теорема. Поліном f (x)

має разовий корінь тоді і тільки тоді, коли ${\ Cal D} (f) = 0$ .

Приклад 6. Охарактеризувати число речових коренів полінома з речовими коефіцієнтами по знаку дискримінанту для полінома третього ступеня, для полінома четвертого ступеня і в загальному випадку.

Рішення. У загальному випадку, якщо дискримінант позитивний, то число пар комплексно-сполучених коренів парне, якщо дискримінант від'ємний, - то непарне.

Для полінома третього ступеня, якщо ${\ Cal D}> 0$ , то все коріння речовинні, якщо ${\ Cal D} <0$ , то два кореня комплексно-зв'язані.

Для полінома четвертого ступеня при ${\ Cal D}> 0$ або все коріння речові, або все коріння комплексні. При ${\ Cal D} <0$ є два речових кореня і одна пара сполучених комплексних.

завдання

1. Знайдіть многочлен

четвертого ступеня зі старшим коефіцієнтом одиницею, у якого число

є коренем кратності

, а залишок від ділення p (x)

на

рівний

2. Многочлен p (x)

з цілими коефіцієнтами представлений у вигляді

p (x) = (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) q (x) +1,

де

- різні цілі числа, а q (x)

- деякий многочлен. Чи може многочлен p (x)

мати цілі коріння?

- різні речові числа. Знайдіть залишок від ділення полінома P (x)

на

- поліном з цілими коефіцієнтами. Для деякого натурального

жодне з чисел $P (1), P (2), \ ldots, P (c)$ не ділиться на

. Доведіть, що поліном P (x)

не має цілих коренів.

5. Коріння полінома x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c

- $\ Alpha, \ beta, \ gamma$ . Знайдіть кубічне рівняння, коренями якого є $\ Alpha ^ 3, \ beta ^ 3, \ gamma ^ 3$ .

6. Довести, що якщо чотири різних точки кривої

лежать на одній прямій, то середнє арифметичне їх абсцис є константа. Знайдіть цю константу.

7. Нехай

. Нехай рівняння P (x) = x

має різні речові коріння. Доведіть, що ці корені є також корінням рівняння P (P (x)) = x

. Знайдіть квадратне рівняння для двох інших коренів цього рівняння. Вирішіть

(Y ^ 2-3y + 2) ^ 2-3 (y ^ 2-3y + 2) + 2-y = 0.

8. Знайдіть поліном f (x)

з речовими коефіцієнтами, f (0) = 1

, такий, що суми квадратів коефіцієнтів (F (x)) ^ n

однакові для всіх $n \ in \ mathbb {N}$ .

9. Речовий поліном p (x)

такий, що для будь-якого полінома q (x)

. Знайти всі такі поліноми p (x)

10. Нехай $\ Varepsilon_1, \ varepsilon_2, \ ldots, \ varepsilon_n$ - корені ступеня

. Знайти $\ Displaystyle \ prod_ {i <j} (\ varepsilon_i- \ varepsilon_j) ^ 2$ .

11. Нехай f (x)

- многочлен

-го степеня, а $f ^ {\ prime} (x)$ - його похідна. Складемо різниці між кожним з коренів рівняння f (x) = 0

і кожним з коренів рівняння $f ^ {\ prime} (x) = 0$ .

Розрахуйте суму величин, зворотних отриманим різницям.

12. Довести, що якщо для деякого натурального p> 0

$\ Displaystyle {a_1 \ over p + 1} + {a_2 \ over p + 2} + \ ldots {a_n \ over p + n} = 0,$

то поліном

$a_nx ^ {n-1} + a_ {n-1} x ^ {n-2} + \ ldots + a_1$

має корінь між

13. Довести, що многочлени $(Z + 1) ^ {2003} +1$ і $z ^ {20} -2002z ^ {10} -2003$ не мають спільних комплексних коренів.

14. Нехай $s_0, s_1, s_2, \ ldots$ - суми Ньютона полінома

$p (x) = x ^ n + a_1x ^ {n-1} + \ dots + a_ {n-1} x + a_n.$

Знайти поліном $P (x) = x ^ n + A_1x ^ {n-1} + \ dots + A_ {n-1} x + A_n$ такий, що його суми Ньютона рівні -s_m

$(M = \ overline {1, n})$ .

Функціональні рівняння для школярів

неділя, 5 лютого 2017 р.

Поліноми

Немає коментарів:

Дописати коментар

неділя, 5 лютого 2017 р.

Поліноми

Немає коментарів:

Дописати коментар

неділя, 5 лютого 2017 р.